Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(x^{2} + 2x\right)\,\sqrt{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{3}{2}}\left(x + 2\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{\frac{3}{2}}$
- $v = x + 2$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{3}{2}}\left(x + 2\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}}\frac{d}{dx}{\left(x + 2\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = \frac{3}{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}\,}}}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}}\frac{d}{dx}{\left(x + 2\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3}{2}\,x^{\frac{3}{2} - 1}\,}}}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}}\frac{d}{dx}{\left(x + 2\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right)\,}}} + x^{\frac{3}{2}}\frac{d}{dx}{\left(x + 2\right)}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x + 2\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)} + \frac{d}{dx}{\left(2\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(2\right)}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(2\right)}\right)$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\right)}\,}}}\right)$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{\frac{3}{2}}\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{3}{2}\,\sqrt{x}\left(x + 2\right) + x^{\frac{3}{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$x^{\frac{3}{2}} + \frac{3\sqrt{x}\left(x + 2\right)}{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)