Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(x^{2} + x\right)^{3}\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \left(x^{2} + x\right)^{3}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\left(x^{2} + x\right)^{3 - 1}\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\left(x^{2} + x\right)^{2}\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\mathrm{e}^{x}\,}}} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$3\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} + 3\mathrm{e}^{x}\left(2x + 1\right)\left(x^{2} + x\right)^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)