Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \left(x^{2} + x\right)^{3}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x} + \left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\,x^{2} \cdot \left(x + 1\right)^{2}\,\left(x^{2} + 7\,x + 3\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} + 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)