Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(x^{2} - 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$2\,x \cdot \mathrm{e}^{x} + x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\,x^{2} + 2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\,x^{2} + 2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)