Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\left(x^{2} - 1\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}x^{2}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x^{2}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}x^{2} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{x}x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}x^{2} + 2\mathrm{e}^{x}x - \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)