Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{2} - 3\,x + 2}{x + 4}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} - 3\,x + 2}{x + 4}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x^{2} - 3\,x + 2$
- $v = x + 4$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} - 3\,x + 2}{x + 4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x + 2\right]}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 3\,x$
- $w = 2$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x + 2\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x + 2\right]}\,}}}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,}}}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Faktorregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(2\,x - 3 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$3 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[2\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\right]}\,}}}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2\,x - 3 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x - 3 + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x - 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 3 + 0\right)\,}}}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 3\right)\,}}}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 4$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}\right)\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Konstantenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 4$
Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[4\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\right]}\,}}}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Null als Summand entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$
Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.
Nur der geänderte Teil:
$1 + 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 0\right)\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 3\,x + 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot 1\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 16 — Klammer nach einem Minus auflösen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(b+c)=a-b-c,\quad a-(b-c)=a-b+c$$
Warum dieser Schritt? Steht ein Minus vor der Klammer, ändern sich beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer.
Nur der geänderte Teil:
$\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \;\Longrightarrow\; \left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - x^{2} + 3\,x - 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Klammer nach einem Minus auflösen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - x^{2} + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 17 — Ausmultiplizieren
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Nur der geänderte Teil:
$\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - x^{2} + 3\,x - 2 \;\Longrightarrow\; 2\,x\,x + 2\,x \cdot 4 - 3\,x - 3 \cdot 4 - x^{2} + 3\,x - 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - x^{2} + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x + 2\,x \cdot 4 - 3\,x - 3 \cdot 4 - x^{2} + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 18 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,x\,}}} + 2\,x \cdot 4 - 3\,x - 3 \cdot 4 - x^{2} + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,}}} + 2\,x \cdot 4 - 3\,x - 3 \cdot 4 - x^{2} + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 19 — Zahlenfaktoren zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x \cdot 4 \;\Longrightarrow\; 8\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot 4\,}}} - 3\,x - 3 \cdot 4 - x^{2} + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\frac{2\,x^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,x\,}}} - 3\,x - 3 \cdot 4 - x^{2} + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 20 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$3 \cdot 4 \;\Longrightarrow\; 12$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 4\,}}} - x^{2} + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,}}} - x^{2} + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 21 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$2\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 - x^{2} + 3\,x - 2 \;\Longrightarrow\; \left(2 - 1\right)\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 - x^{2} + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 - 1\right)\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 22 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 - 1\right)\,}}}\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 23 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,x^{2}\,}}} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,}}} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 24 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2 \;\Longrightarrow\; x^{2} + \left(8 - 3\right)\,x - 12 + 3\,x - 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + 8\,x - 3\,x - 12 + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + \left(8 - 3\right)\,x - 12 + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 25 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$8 - 3 \;\Longrightarrow\; 5$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(8 - 3\right)\,}}}\,x - 12 + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,}}}\,x - 12 + 3\,x - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 26 — Gleichartige Terme zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$x^{2} + 5\,x - 12 + 3\,x - 2 \;\Longrightarrow\; x^{2} + \left(5 + 3\right)\,x - 12 - 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + 5\,x - 12 + 3\,x - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + \left(5 + 3\right)\,x - 12 - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 27 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$5 + 3 \;\Longrightarrow\; 8$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(5 + 3\right)\,}}}\,x - 12 - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,8\,}}}\,x - 12 - 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 28 — Zahlen in der Summe zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a+u+b=u+(a+b)$$
Warum dieser Schritt? Wir rechnen die reinen Zahlen der Summe zusammen. Die übrigen Summanden bleiben unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$x^{2} + 8\,x - 12 - 2 \;\Longrightarrow\; x^{2} + 8\,x - 14$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + 8\,x - 12 - 2\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen in der Summe zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} + 8\,x - 14\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{x^{2} + 8\,x - 14}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $x + 4\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{2\,x - 3}{x + 4} - \frac{x^{2} - 3\,x + 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt