Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{2} - 3\,x + 2}{x + 4}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} - 3\,x + 2}{x + 4}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x^{2} - 3\,x + 2$
- $v = x + 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2} - 3\,x + 2}{x + 4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x + 2\right]}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $x^{2}$
- $-3\,x$
- $2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} - 3\,x + 2\right]}\,}}}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\,}}}\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} - \frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{\left(2\,x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(2\,x - 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(2\,x - 3 + \frac{d}{dx}{\left[2\right]}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\right]}\,}}}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2\,x - 3 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 4\right]}\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}\,}}}}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[4\right]}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\right]}\,}}}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right) \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(2\,x - 3\right)\,\left(x + 4\right) - \left(x^{2} - 3\,x + 2\right)}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{x^{2} + 8\,x - 14}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{2\,x - 3}{x + 4} - \frac{x^{2} - 3\,x + 2}{\left(x + 4\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)