Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$-x^{4} + 3x^{3} - x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(-x^{4} + 3x^{3} - x\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $-x^{4}$
- $3x^{3}$
- $-x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x^{4} + 3x^{3} - x\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x^{4}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 —
Regel
$$$$
Mit:
- $u = x^{4}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x^{4}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left(x^{4}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 4$
Aktueller Ausdruck
$$-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{4}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4x^{4 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$-\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4x^{3}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 4 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$-4x^{3} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x^{3}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Faktorregel
$$-4x^{3} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$-4x^{3} + 3\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-4x^{3} + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$-4x^{3} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,9x^{2}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$-4x^{3} + 9x^{2} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$-4x^{3} + 9x^{2} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Ergebnis
$$-4x^{3} + 9x^{2} - 1$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-4x^{3} + 9x^{2} - 1$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)