Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{1}{x + 1}\,\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x + 1}\,\sin\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \frac{1}{x + 1}$
  • $v = \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x + 1}\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x + 1}\right]}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x + 1}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{-1}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x + 1}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{-1}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x + 1$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{-1}\right]} \;\Longrightarrow\; -1\,\left(x + 1\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{-1}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(x + 1\right)^{-1 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$-1\,\left(x + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $1 + 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 0\right)\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$-1\,\left(x + 1\right)^{-2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $-1\,\left(x + 1\right)^{-2} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; -1\,\left(x + 1\right)^{-2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(x + 1\right)^{-2} \cdot 1\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 10 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right) \;\Longrightarrow\; -\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right)\,}}} + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right)\,}}} + \frac{1}{x + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 11 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right) + \frac{1}{x + 1}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x + 1}\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x + 1}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)}{x + 1}\,}}}$$
Schritt 13 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right) \;\Longrightarrow\; -\frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\left(x + 1\right)^{-2}\,\sin\left(x\right)\,}}} + \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\,}}} + \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1}$$
Endergebnis
$$-\frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x + 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\cos\left(x\right)}{x + 1} - \frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt