Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{1}{x^{2}} + 5\,x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3} + \frac{1}{x^{2}}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 5\,x^{3}$
  • $v = \frac{1}{x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3} + \frac{1}{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 5$
  • $u = x^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,} + \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}$$
Schritt 4 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 1$
  • $u = \left(x^{2}\right)^{-1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$15\,x^{2} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$15\,x^{2} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2}\right)^{-1}\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$15\,x^{2} + \frac{d}{dx}{\left[\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-2}\,}\right]}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$15\,x^{2} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$15\,x^{2} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,x^{-2 - 1}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$15\,x^{2} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,}}\,}$$
Endergebnis
$$15\,x^{2} - \frac{2}{x^{3}}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$15\,x^{2} - \frac{2}{x^{3}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)