Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{1}{x^{2}} + 5x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(5x^{3} + \frac{1}{x^{2}}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 5x^{3}$
- $v = \frac{1}{x^{2}}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5x^{3} + \frac{1}{x^{2}}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$5\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15x^{2}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}$$
Schritt 4 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 1$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$15x^{2} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$15x^{2} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}x^{2} - 1\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Vereinfacht
$$15x^{2} + \frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}x^{2} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$15x^{2} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}x^{2} - \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$15x^{2} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}x^{2} - \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15x^{2} - 1 \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$15x^{2} - 1 \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$15x^{2} - 1 \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$15x^{2} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2x}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Ergebnis
$$15x^{2} - \frac{2x}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$15x^{2} - \frac{2}{x^{3}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)