Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{1}{x^{3}}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\log\left(x\right)}{x^{3}}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\log\left(x\right)}{x^{3}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}x^{3} - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}x^{3} - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{3} - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{3} - \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{3} - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{3} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot \log\left(x\right)x^{2}\,}}}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{3} - 3 \cdot \log\left(x\right)x^{2}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{x^{4}} - \frac{3\log\left(x\right)}{x^{4}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)