Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$10\,x^{5} + 2^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5} + 2^{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 10\,x^{5}$
  • $v = 2^{x}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5} + 2^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 10$
  • $u = x^{5}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5}\right]} \;\Longrightarrow\; 10\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[10\,x^{5}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,10\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 5$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]} \;\Longrightarrow\; 5\,x^{5 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$10\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$10 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,x^{5 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $5 - 1 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$10 \cdot 5\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$10 \cdot 5\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 5 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $10 \cdot 5\,x^{4} \;\Longrightarrow\; 50\,x^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,10 \cdot 5\,x^{4}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,50\,x^{4}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}$$
Schritt 6 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
  • $a = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die Basis ist konstant, der Exponent hängt von x ab. Die Potenz bleibt erhalten; hinzu kommen der natürliche Logarithmus der Basis und die Ableitung des Exponenten.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$50\,x^{4} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$50\,x^{4} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$50\,x^{4} + 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$50\,x^{4} + 2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$50\,x^{4} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$50\,x^{4} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $2^{x}\,\ln\left(2\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(2\right) \cdot 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$50\,x^{4} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$50\,x^{4} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right) \cdot 2^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$50\,x^{4} + \ln\left(2\right) \cdot 2^{x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$50\,x^{4} + 2^{x}\,\log\left(2\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt