Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$2\mathrm{e}^{x} - \cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(2\mathrm{e}^{x} - \cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 2\mathrm{e}^{x}$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\mathrm{e}^{x} - \cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\mathrm{e}^{x}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$2\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$2 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right) - \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$2\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$2\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$2\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) - -\sin\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\sin\left(x\right) + 2\mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)