Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$2^{x}x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(2^{x}x^{3}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = 2^{x}$
- $v = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2^{x}x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}x^{3} + 2^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
- $a = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}\,}}}x^{3} + 2^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\ln\left(2\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{3} + 2^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2^{x}\ln\left(2\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{3} + 2^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2^{x}\ln\left(2\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x^{3} + 2^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,}}}\ln\left(2\right)x^{3} + 2^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$2^{x}\ln\left(2\right)x^{3} + 2^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2^{x}\ln\left(2\right)x^{3} + 2^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$2^{x}\ln\left(2\right)x^{3} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,32^{x}x^{2}\,}}}$$
Ergebnis
$$2^{x}\ln\left(2\right)x^{3} + 32^{x}x^{2}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2^{x}\log\left(2\right)x^{3} + 32^{x}x^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)