Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$2^{x}\,x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\,x^{3}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = 2^{x}$
  • $v = x^{3}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\,x^{3}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
  • $a = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die Basis ist konstant, der Exponent hängt von x ab. Die Potenz bleibt erhalten; hinzu kommen der natürliche Logarithmus der Basis und die Ableitung des Exponenten.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
✨ Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1\,}}}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}\,x^{3} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
Schritt 5 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $2^{x}\,\ln\left(2\right)\,x^{3} \;\Longrightarrow\; \ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,x^{3}\,}}} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x}\,}}} + 2^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + 2^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + 2^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + 2^{x} \cdot 3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + 2^{x} \cdot 3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}$$
Schritt 8 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $2^{x} \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2} \cdot 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x} \cdot 3\,x^{2}\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2} \cdot 2^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x} + 3\,x^{2} \cdot 2^{x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2^{x}\,\log\left(2\right)\,x^{3} + 3 \cdot 2^{x}\,x^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt