Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$3x\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(3 \cdot \sin\left(x\right)x\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $3$
- $\sin\left(x\right)$
- $x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3 \cdot \sin\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3\right)} \cdot \sin\left(x\right)x + 3\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3\right)}\,}}} \cdot \sin\left(x\right)x + 3\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)x\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} \cdot \sin\left(x\right)x + 3\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)x\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Schritt 3 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$3\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)x\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$3 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}x + \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}x + \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Nach Ableitung des Sinus
$$3 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}x + \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$3 \cdot \left(\cos\left(x\right)x + \sin\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$3 \cdot \left(\cos\left(x\right)x + \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$3 \cdot \left(\cos\left(x\right)x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$3 \cdot \left(\cos\left(x\right)x + \sin\left(x\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$3\sin\left(x\right) + 3x\cos\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)