Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{3}{x} + 4\sqrt{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{3}{x} + 4\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \frac{3}{x}$
- $v = 4\sqrt{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{3}{x} + 4\sqrt{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{3}{x}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 3$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{3}{x}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(3\right)}x - 3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 3 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3\right)}\,}}}x - 3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}x - 3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 \cdot \frac{3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$-1 \cdot \frac{3\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$-1 \cdot \frac{3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{3}{x^{2}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 5 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 4$
- $u = \sqrt{x}$
Aktueller Ausdruck
$$-\frac{3}{x^{2}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4\sqrt{x}\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$-\frac{3}{x^{2}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$-\frac{3}{x^{2}} + 4\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}$$
Nach Kettenregel
$$-\frac{3}{x^{2}} + 4 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,}}}$$
Ergebnis
$$-\frac{3}{x^{2}} + 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)