Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$4\,x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[4\,x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $4$
- $x^{3}$
- $\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x^{3}\right]} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 4$
- $u = x^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[4\,x^{3}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$4 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$4 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,12\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$12\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$12\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$12\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$12\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$12\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$12\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} + 4\,x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Endergebnis
$$4 \cdot x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} + 12 \cdot x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$4 \cdot x^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} + 12 \cdot x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)