Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$4x^{3}\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(4x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $4$
- $x^{3}$
- $\mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4\right)}x^{3}\mathrm{e}^{x} + 4\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 4$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(4\right)}\,}}}x^{3}\mathrm{e}^{x} + 4\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}x^{3}\mathrm{e}^{x} + 4\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 3 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$4\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$4 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$4 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right)$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$4 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right)$$
Vereinfacht
$$4 \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{2}\mathrm{e}^{x}\,}}} + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$4 \cdot \left(3x^{2}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$4 \cdot \left(3x^{2}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$4 \cdot \left(3x^{2}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$4 \cdot \left(3x^{2}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$4 \cdot \left(3x^{2}\mathrm{e}^{x} + x^{3} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\right)$$
Ergebnis
$$4 \cdot \left(3x^{2}\mathrm{e}^{x} + x^{3}\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$4\mathrm{e}^{x}x^{3} + 12\mathrm{e}^{x}x^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)