Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$5\left(x^{2} + 3\right)^{4} - 2x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(5\left(x^{2} + 3\right)^{4} - 2x\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = 5\left(x^{2} + 3\right)^{4}$
- $v = 2x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\left(x^{2} + 3\right)^{4} - 2x\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\left(x^{2} + 3\right)^{4}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = \left(x^{2} + 3\right)^{4}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\left(x^{2} + 3\right)^{4}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + 3\right)^{4}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + 3$
- $c = 4$
Aktueller Ausdruck
$$5\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + 3\right)^{4}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Nach Potenzregel
$$5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\left(x^{2} + 3\right)^{4 - 1}\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + 3\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,20\left(x^{2} + 3\right)^{3}\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + 3\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 3$
Aktueller Ausdruck
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + 3\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Vereinfacht
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3\right)}\right) - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(2x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3\right)}\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$20\left(x^{2} + 3\right)^{3} \cdot \left(2x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(2x\right)}$$
Schritt 7 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x - 2\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x - 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}$$
Ergebnis
$$40\left(x^{2} + 3\right)^{3}x - 2$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$40x\left(x^{2} + 3\right)^{3} - 2$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)