Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$5x^{2}\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(5 \cdot \log\left(x\right)x^{2}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $5$
- $\log\left(x\right)$
- $x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5 \cdot \log\left(x\right)x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\right)} \cdot \log\left(x\right)x^{2} + 5\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 5$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\right)}\,}}} \cdot \log\left(x\right)x^{2} + 5\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x^{2}\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}} \cdot \log\left(x\right)x^{2} + 5\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x^{2}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 3 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$5\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$5 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}x^{2} + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 4 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}x^{2} + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\right)$$
Nach Kettenregel
$$5 \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{2} + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\right)$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$5 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x^{2} + \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}\right)$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$5 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x^{2} + \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$5 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x^{2} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \log\left(x\right)x\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$5 \cdot \left(\frac{1}{x}\,x^{2} + 2 \cdot \log\left(x\right)x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$10x\log\left(x\right) + 5x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)