Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{5}{x^{3}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{5}{x^{3}}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 5$
- $v = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{5}{x^{3}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(5\right)}x^{3} - 5\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 5$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\right)}\,}}}x^{3} - 5\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\,x^{3} - 5\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{5\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}}{\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$-\frac{5\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\frac{5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$-\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15\,x^{2}\,}}}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$-\frac{15\,x^{2}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-\frac{15}{x^{4}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)