Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arcsin\left(2\,x\right) - \arccos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right) - \arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \arcsin\left(2\,x\right)$
- $v = \arccos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right) - \arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(u))=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(2\,x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}}\,} - \frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Arcuscosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arccos(x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arccos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcuscosinus
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}$$
Endergebnis
$$\frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - \left(2\,x\right)^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4\,x^{2}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)