Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arcsin\left(2x\right) - \arccos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(2x\right) - \arccos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \arcsin\left(2x\right)$
- $v = \arccos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(2x\right) - \arccos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(2x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(u))=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$
Mit:
- $u = 2x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(2x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Arcuscosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arccos(x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arccos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Arcuscosinus
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
Ergebnis
$$2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(2x\right)^{2}}} - -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)