Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \arcsin\left(\sqrt{x}\right)$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcussinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(u))=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung des Arcussinus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,}}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{x} + \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{2\sqrt{1 - x}\sqrt{x}} + \mathrm{e}^{x}\arcsin\left(\sqrt{x}\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)