Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arcsin\left(x\right)x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x\arcsin\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \arcsin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\arcsin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\arcsin\left(x\right) + x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arcsin\left(x\right) + x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\arcsin\left(x\right) + x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arcsin\left(x\right)\,}}} + x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Arcussinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Aktueller Ausdruck
$$\arcsin\left(x\right) + x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Arcussinus
$$\arcsin\left(x\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
Ergebnis
$$\arcsin\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\arcsin\left(x\right) + \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)