Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arcsin\left(x\right)\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\arcsin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \arcsin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\arcsin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\arcsin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arcsin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arcsin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\arcsin\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Arcussinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\arcsin\left(x\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\arcsin\left(x\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\arcsin\left(x\right) + \frac{x \cdot 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\arcsin\left(x\right) + \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)