Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(2x\right)\cos\left(3x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(2x\right)\cos\left(3x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \arctan\left(2x\right)$
- $v = \cos\left(3x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(2x\right)\cos\left(3x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(2x\right)\right)}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(u))=\frac{u'}{1+u^2}$$
Mit:
- $u = 2x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(2x\right)\right)}\,}}}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\cos\left(3x\right)\,}}} + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$2 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right)\,}}} + \arctan\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 3x$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(3x\right)\frac{d}{dx}{\left(3x\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right) \cdot -\sin\left(3x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) + \arctan\left(2x\right) \cdot -\sin\left(3x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) - 3 \cdot \arctan\left(2x\right)\sin\left(3x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) - 3 \cdot \arctan\left(2x\right)\sin\left(3x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) - 3 \cdot \arctan\left(2x\right)\sin\left(3x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) - 3 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arctan\left(2x\right)\sin\left(3x\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$2 \cdot \frac{1}{1 + \left(2x\right)^{2}}\,\cos\left(3x\right) - 3 \cdot \arctan\left(2x\right)\sin\left(3x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{2\cos\left(3x\right)}{4x^{2} + 1} - 3\arctan\left(2x\right)\sin\left(3x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)