Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right)\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\arctan\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \arctan\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\arctan\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung des Arcustangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Arcustangens
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\arctan\left(x\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\arctan\left(x\right) + \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2} + 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)