Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \arctan\left(x\right)$
  • $v = \mathrm{e}^{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{x} + \arctan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(x\right)=\frac{1}{1 + x^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + x^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \arctan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} + \arctan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{1 + x^{2}}\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \arctan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}}\,}}} + \arctan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x^{2}} + \arctan\left(x\right)\,\mathrm{e}^{x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\mathrm{e}^{x}\,\arctan\left(x\right) + \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2} + 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt