Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \arctan\left(x\right)$
- $v = \frac{1}{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 3 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 1$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}x - 1\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}x - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}x - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)