Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \arctan\left(x\right)$
- $v = \frac{1}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 1$
- $u = x^{-1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = -1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1\,x^{-1 - 1}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}\,}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)