Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \arctan\left(x\right)$
  • $v = \frac{1}{x}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - \frac{1}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(x\right)=\frac{1}{1 + x^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + x^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}$$
Schritt 3 — Kehrwert als negative Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\frac{c}{v}=c\cdot v^{-1},\quad \frac{c}{v^k}=c\cdot v^{-k}$$

Warum dieser Schritt? Der Nenner lässt sich als Potenz mit negativem Exponenten schreiben. Danach können wir Faktor- und Potenzregel anwenden. Der ursprüngliche Nenner darf weiterhin nicht 0 sein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{1}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Kehrwert als negative Potenz schreiben
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = -1$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]} \;\Longrightarrow\; -1\,x^{-1 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{-1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1\,x^{-1 - 1}\right)\,}}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $-1 - 1 \;\Longrightarrow\; -2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(-1\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-1 - 1\,}}}}\right)$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(-1\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,}}}}\right)$$
Schritt 6 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $-1\,x^{-2} \;\Longrightarrow\; -x^{-2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-1\,x^{-2}\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{-2}\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Minus mal Minus ergibt Plus Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$

Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(-x^{-2}\right)\,}}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}} + x^{-2}\,}}}$$
Schritt 8 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $x^{-2} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{-2}\,}}}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\frac{1}{1 + x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt