Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) - x\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - x\,\ln\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \arctan\left(x\right)$
  • $v = x\,\ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - x\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(x\right)=\frac{1}{1 + x^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + x^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\ln\left(x\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + x\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{x}\,}}}\right)$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}}\right)$$
Schritt 8 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x}{x} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}}\right)$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 9 — Klammer nach einem Minus auflösen Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(b+c)=a-b-c,\quad a-(b-c)=a-b+c$$

Warum dieser Schritt? Steht ein Minus vor der Klammer, ändern sich beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\,}}}$$
✨ Nach Klammer nach einem Minus auflösen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}} - \ln\left(x\right) - 1\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \ln\left(x\right) - 1$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-\log\left(x\right) + \frac{1}{x^{2} + 1} - 1$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt