Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) - x\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right) - x\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \arctan\left(x\right)$
- $v = x\log\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right) - x\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(x\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\log\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(x\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \log\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\log\left(x\right) + x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\log\left(x\right) + x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\log\left(x\right) + x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\right)$$
Vereinfacht
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\log\left(x\right)\,}}} + x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\right)$$
Schritt 5 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\log\left(x\right) + x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}\right)$$
Nach Kettenregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\log\left(x\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\log\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-\log\left(x\right) + \frac{1}{x^{2} + 1} - 1$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)