Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\arctan\left(x\right) - x\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - x\,\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \arctan\left(x\right)$
- $v = x\,\log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right) - x\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Arcustangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\,\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x\,\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\log\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\log\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\right)$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\log\left(x\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\log\left(x\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{1}{1 + x^{2}} - \left(\log\left(x\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\right)$$
Endergebnis
$$-\log\left(x\right) + \frac{1}{x^{2} + 1} - 1$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\log\left(x\right) + \frac{1}{x^{2} + 1} - 1$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)