Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\mathrm{e}^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\mathrm{e}^{x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \cos\left(2\,x\right)$
  • $v = \mathrm{e}^{x}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\mathrm{e}^{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; -2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \cos\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{-2\,\sin\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x} - \cos\left(2\,x\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\mathrm{e}^{x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$-2\,\mathrm{e}^{-x}\,\sin\left(2\,x\right) - \mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(2\,x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt