Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\mathrm{e}^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{-x}$
- $v = \cos\left(2\,x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\cos\left(2\,x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}\,}}}\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung eines negativen Terms
Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-x}\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}-\sin\left(2\,x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,}}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)\cos\left(2\,x\right) + \mathrm{e}^{-x}-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-2\,\sin\left(2\,x\right)\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}\cos\left(2\,x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)