Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \cos\left(2\,x\right)$
- $v = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\cos\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2\,x\right)\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,}}}\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\sin\left(x\right) - \cos\left(2\,x\right)\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-\frac{2\,\sin\left(2\,x\right)}{\sin\left(x\right)} - \frac{\cos\left(x\right)\cos\left(2\,x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)