Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\cos\left(3\,x\right)}{\arctan\left(2\,x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(3\,x\right)}{\arctan\left(2\,x\right)}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \cos\left(3\,x\right)$
- $v = \arctan\left(2\,x\right)$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\cos\left(3\,x\right)}{\arctan\left(2\,x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
- $u = 3\,x$
Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(3\,x\right)\right]}\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(3\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x\right]}\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$3 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 1\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{-\sin\left(3\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\,\arctan\left(2\,x\right) \;\Longrightarrow\; -3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(3\,x\right) \cdot 3\,\arctan\left(2\,x\right)\,}}} - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right)\,}}} - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung des Arcustangens
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(u\right)=\frac{1}{1 + u^{2}}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(2\,x\right)\right]}\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + \left(2\,x\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Potenz eines Produkts
Vereinfachung
📖 Regel
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$
Warum dieser Schritt? Jeder Faktor des Produkts wird mit dem Exponenten potenziert.
Nur der geänderte Teil:
$\left(2\,x\right)^{2} \;\Longrightarrow\; 2^{2}\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x\right)^{2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz eines Produkts
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,x^{2}\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2^{2} \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,}}}\,x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Faktorregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; \cos\left(3\,x\right) \cdot \frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(3\,x\right)\,\frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(3\,x\right) \cdot \frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Zu einem Bruch zusammenfassen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$
Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(3\,x\right) \cdot \frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; \frac{\cos\left(3\,x\right) \cdot 2}{1 + 4\,x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(3\,x\right) \cdot \frac{1}{1 + 4\,x^{2}} \cdot 2\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(3\,x\right) \cdot 2}{1 + 4\,x^{2}}\,}}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(3\,x\right) \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\cos\left(3\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(3\,x\right) \cdot 2\,}}}}{1 + 4\,x^{2}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\cos\left(3\,x\right)\,}}}}{1 + 4\,x^{2}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{-3\,\sin\left(3\,x\right)\,\arctan\left(2\,x\right) - \frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{1 + 4\,x^{2}}}{\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\arctan\left(2\,x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\frac{3\,\sin\left(3\,x\right)}{\arctan\left(2\,x\right)} - \frac{2\,\cos\left(3\,x\right)}{\left(4\,x^{2} + 1\right)\,\arctan\left(2\,x\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt