Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)x\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)x\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}\,}}}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)