Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}\,}$$
Endergebnis
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)