Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{-x}x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}x^{2}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{-x}$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 3 —
Regel
$$$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach
$$\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2}\,}}} + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$-\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{-x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$-\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$-\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{-x}x\,}}}$$
Ergebnis
$$-\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{2} + 2\mathrm{e}^{-x}x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2\mathrm{e}^{-x}x - \mathrm{e}^{-x}x^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)