Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{2\,x}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)}\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2\,x\right)}\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,}}}x - \mathrm{e}^{2\,x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2x - \mathrm{e}^{2\,x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2x - \mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}}{x^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2x - \mathrm{e}^{2\,x}}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{2\,\mathrm{e}^{2\,x}}{x} - \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{x^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)