Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{2x}\sin\left(x^{2}\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{2x}$
- $v = \sin\left(x^{2}\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\sin\left(x^{2}\right)\,}}} + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$2 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x^{2}\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x} \cdot \cos\left(x^{2}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{2x} \cdot \cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{2x}\cos\left(x^{2}\right)x\,}}}$$
Ergebnis
$$2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\sin\left(x^{2}\right) + 2\mathrm{e}^{2x}\cos\left(x^{2}\right)x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2\mathrm{e}^{2x}\sin\left(x^{2}\right) + 2\mathrm{e}^{2x}x\cos\left(x^{2}\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)