Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{2x} + \cos\left(3x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right) + \mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \cos\left(3x\right)$
- $v = \mathrm{e}^{2x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right) + \mathrm{e}^{2x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 3x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(3x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(3x\right)\frac{d}{dx}{\left(3x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$-\sin\left(3x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Nach Faktorregel
$$-\sin\left(3x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3 \cdot \sin\left(3x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$-3 \cdot \sin\left(3x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$-3 \cdot \sin\left(3x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-3\sin\left(3x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = 2x$
Aktueller Ausdruck
$$-3\sin\left(3x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{2x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$-3\sin\left(3x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$-3\sin\left(3x\right) + \mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$-3\sin\left(3x\right) + \mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Vereinfacht
$$-3\sin\left(3x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$-3\sin\left(3x\right) + 2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$-3\sin\left(3x\right) + 2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$-3\sin\left(3x\right) + 2 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$-3\sin\left(3x\right) + 2\mathrm{e}^{2x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2\mathrm{e}^{2x} - 3\sin\left(3x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)