Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x + x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x^{2} + x}\right)}$$
Schritt 1 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x^{2} + x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(2x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(2x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \left(2x + 1\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x^{2} + x}\left(2x + 1\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)