Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = \mathrm{e}^{x} + 1$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} + 1\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} + 0 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 0\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x + x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x + x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

Nur der geänderte Teil: $x + x \;\Longrightarrow\; \left(1 + 1\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x + x\,}}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,x\,}}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $1 + 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 1\right)\,}}}\,x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{2\,x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\mathrm{e}^{x} + 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1} - \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt