Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \mathrm{e}^{x} + 1$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\mathrm{e}^{x} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right) - \mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x} + 1} - \frac{\mathrm{e}^{2\,x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)