Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \left(x^{2} + x\right)^{3}$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz einer Potenz
Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
Nur der geänderte Teil:
$\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; \left(x^{2} + x\right)^{3 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3 \cdot 2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$3 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 6$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,}}}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 7 — Potenzregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
- $c = 3$
Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,\left(x^{2} + x\right)^{3 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\left(x^{2} + x\right)^{3 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 9 — Summen-/Differenzenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 10 — Potenzregel (Spezialfall)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 11 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 12 — Potenz mit Exponent 1
Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.
Nur der geänderte Teil:
$x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 13 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 14 — Faktoren ordnen
Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$
Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + 1\right) \;\Longrightarrow\; 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + 1\right)\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + 1\right)\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 15 — Gemeinsamen Faktor ausklammern
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u+b\cdot u=u\cdot(a+b)$$
Warum dieser Schritt? Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(2\,x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor ausklammern
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right) - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}\,}}}$$
Schritt 16 — Gemeinsamen Faktor kürzen
Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\left(x^{2} + x\right)^{2}\,\left(\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right) - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right) - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6 - 2}}\,}}}$$
Schritt 17 — Zahlen ausrechnen
Vereinfachung
📖 Regel
Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.
Nur der geänderte Teil:
$6 - 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right) - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6 - 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right) - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} + x\right) - 3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{4}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\left(x^{2} + x\right)^{3}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}} - \frac{3\,\mathrm{e}^{x}\,\left(2\,x + 1\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{4}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt