Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \left(x^{2} + x\right)^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)}\,}}}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\left(x^{2} + x\right)^{3 - 1}\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\,}}}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2} + x\right)}\,}}}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x\right)}\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3\,\left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + 1\right)}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}} - \frac{3\,\left(2\,x + 1\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{4}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)