Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \left(x^{2} + x\right)^{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(\left(x^{2} + x\right)^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + x\right)^{6}\,}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x}\,} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 4 — Potenzregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + x$
- $c = 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x^{2} + x\right)^{3}\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{3 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 5 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + x\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} + \frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\left(x^{2} + x\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{x} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot \left(x^{2} + x\right)^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \left(2\,x + 1\right)\,}}{\left(x^{2} + x\right)^{6}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\left(x^{2} - 5\,x - 3\right)}{x^{4} \cdot \left(x + 1\right)^{4}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{3}} - \frac{3 \cdot \left(2\,x + 1\right) \cdot \mathrm{e}^{x}}{\left(x^{2} + x\right)^{4}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)