Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = \arcsin\left(\sqrt{x}\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung des Arcussinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arcsin\left(u\right)=\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \sqrt{x}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right]}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcussinus
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; 2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \frac{\mathrm{e}^{x}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}} \cdot 2\,\sqrt{x}\,}}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \frac{\mathrm{e}^{x}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}\,}}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\,\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.
  • $-1<\sqrt{x}<1$ – Die Ableitungsformel wird im Inneren des reellen Definitionsbereichs verwendet.
  • $\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)} - \frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\arcsin\left(\sqrt{x}\right)^{2}\,\sqrt{1 - x}\,\sqrt{x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt