Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \arcsin\left(\sqrt{x}\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung des Arcussinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(u))=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(\sqrt{x}\right)\right)}\,}}}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Nach Ableitung des Arcussinus
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Schritt 5 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\arcsin\left(\sqrt{x}\right) - \mathrm{e}^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\sqrt{x}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}}{\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{\arcsin\left(\sqrt{x}\right)} - \frac{\mathrm{e}^{x}}{2\,\sqrt{x}\sqrt{1 - x}\arcsin^{2}\left(\sqrt{x}\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)