Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}x^{2} - \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\mathrm{e}^{x}x^{2} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\mathrm{e}^{x}x^{2} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}x^{2} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x}{\left(x^{2}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}} - \frac{2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)