Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{4}\,}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}\,} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{x^{4}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \mathrm{e}^{x}\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,}}{x^{4}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot \mathrm{e}^{x}}{x^{3}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot \mathrm{e}^{x}}{x^{3}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)