Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\left(x^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{2}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2 \cdot 2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\,x^{2} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 7 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x}\,x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,x^{2}\,}}} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}}{x^{4}}$$
Schritt 8 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{x^{4}}$$
Schritt 9 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}{x^{4}}$$
Schritt 10 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{x^{4}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 2\,x\,}}}}{x^{4}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{x^{4}}$$
Schritt 12 — Gemeinsamen Faktor ausklammern Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u+b\cdot u=u\cdot(a+b)$$

Warum dieser Schritt? Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}\,\mathrm{e}^{x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{x}}{x^{4}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor ausklammern
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\left(x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}\right)}{x^{4}}\,}}}$$
Schritt 13 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\left(x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}\right)}{x^{4}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{4 - 1}}\,}}}$$
Schritt 14 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{x\,\mathrm{e}^{x} - 2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}} - \frac{2\,\mathrm{e}^{x}}{x^{3}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt