Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\right)$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot \left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)