Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\right)$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\right)$$
Schritt 6 — Ableitung des Kosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right)$$
🧹 Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,}$$
Endergebnis
$$2 \cdot \cos\left(x\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\,\left(\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\,\left(\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)