Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x}\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\left(-\sin\left(x\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{x}\sin\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)