Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\mathrm{e}^{x} - x^{4}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - x^{4}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = \mathrm{e}^{x}$
  • $v = x^{4}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x} - x^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 4$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]} \;\Longrightarrow\; 4\,x^{4 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{4}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{4 - 1}\,}}}$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}$$
Endergebnis
$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{3}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\mathrm{e}^{x} - 4\,x^{3}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt