Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\log\left(\sin\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \log\left(\sin\left(x\right)\right)$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(\sin\left(x\right)\right) + \mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(\sin\left(x\right)\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(\sin\left(x\right)\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$\frac{1}{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} + \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)