Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\log\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\log\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\cos\left(x\right) - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}}{\cos^{2}\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}\cos\left(x\right) - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}}{\cos^{2}\left(x\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\cos\left(x\right) - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}}{\cos^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right) - \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}}{\cos^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right) - \log\left(x\right)\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right)}{\cos^{2}\left(x\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right) - \log\left(x\right)\left(-\sin\left(x\right)\right)}{\cos^{2}\left(x\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\log\left(x\right)\sin\left(x\right)}{\cos^{2}\left(x\right)} + \frac{1}{x\cos\left(x\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)