Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $v = \cos\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\cos\left(x\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\cos\left(x\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,\cos\left(x\right)\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)}{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\cos\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\frac{\cos\left(x\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -\ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\cos\left(x\right)}{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{\frac{\cos\left(x\right)}{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Minus mal Minus ergibt Plus Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$

Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.

Nur der geänderte Teil: $\frac{\cos\left(x\right)}{x} - \left(-\ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\cos\left(x\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)}{x} - \left(-\ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{\cos\left(x\right)}{x} + \ln\left(x\right)\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $\cos\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\log\left(x\right)\,\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)^{2}} + \frac{1}{x\,\cos\left(x\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt