Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{\tan\left(x^{3}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{\tan\left(x^{3}\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $v = \tan\left(x^{3}\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{\tan\left(x^{3}\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,\tan\left(x^{3}\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,\tan\left(x^{3}\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\tan\left(x^{3}\right) - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right)\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Tangens (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(u\right)=\frac{1}{\cos\left(u\right)^{2}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{3}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens (Kettenregel)
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right)\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{2}}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right) \cdot \frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{2}}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{2}\,}}}}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)\,}}}}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} - \frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $\cos\left(x^{3}\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.
  • $\tan\left(x^{3}\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{x\,\tan\left(x^{3}\right)} - \frac{3\,x^{2}\,\log\left(x\right)\,\sec\left(x^{3}\right)^{2}}{\tan\left(x^{3}\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt