Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{x^{3}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{x^{3}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $v = x^{3}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{x^{3}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(x^{3}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; x^{3 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x^{3}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3 \cdot 2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 6$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,}}}}}$$
Schritt 4 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{3} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x}\,x^{3} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{3}}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,x^{3}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{3}}{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
Schritt 6 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x^{3}}{x} \;\Longrightarrow\; x^{3 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{3}}{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3 - 1}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}}{x^{6}}$$
Schritt 8 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}}{x^{6}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{x^{2} - \ln\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}}{x^{6}}$$
Schritt 9 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2} - \ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}}{x^{6}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{x^{2} - \ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}}{x^{6}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right) \cdot 3\,x^{2}\,}}}}{x^{6}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{x^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)\,}}}}{x^{6}}$$
Schritt 11 — Gemeinsamen Faktor ausklammern Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u+b\cdot u=u\cdot(a+b)$$

Warum dieser Schritt? Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2} - 3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{x^{6}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor ausklammern
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}\,\left(1 - 3\,\ln\left(x\right)\right)}{x^{6}}\,}}}$$
Schritt 12 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2}\,\left(1 - 3\,\ln\left(x\right)\right)}{x^{6}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1 - 3\,\ln\left(x\right)}{x^{6 - 2}}\,}}}$$
Schritt 13 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $6 - 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1 - 3\,\ln\left(x\right)}{x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6 - 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1 - 3\,\ln\left(x\right)}{x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1 - 3\,\ln\left(x\right)}{x^{4}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $x^{3}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{x^{4}} - \frac{3\,\log\left(x\right)}{x^{4}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt