Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{x^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{x^{x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$
  • $v = x^{x}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x\right)}{x^{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,x^{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}\,x^{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{x} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{x}\,x^{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{x}}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,x^{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{x}}{x}\,}}} - \ln\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Allgemeine Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Sowohl Basis als auch Exponent hängen von x ab. Beide Änderungen tragen zur Ableitung bei. Die angegebene reelle Formel setzt eine positive Basis voraus.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; x^{x}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}\,}}}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Allgemeine Potenzregel
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,}}}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{x}\,}}}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x}{x} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{x^{x}}{x} - \ln\left(x\right)\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die allgemeine reelle Potenzregel wird für eine positive Basis verwendet.
  • $x^{x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\left(-\log\left(x\right) - 1\right)\,\log\left(x\right)}{x^{x}} + x^{-x - 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt