Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{x^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log\left(x\right)}{x^{x}}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = x^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log\left(x\right)}{x^{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,x^{x} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,x^{x} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{x} - \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Allgemeine Potenzregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}\,}}}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Allgemeine Potenzregel
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x} \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,}}}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right) \cdot x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$-\frac{\log\left(x\right)^{2}}{x^{x}} - \frac{\log\left(x\right)}{x^{x}} + x^{-x - 1}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\left(-\log\left(x\right) - 1\right)\,\log\left(x\right)}{x^{x}} + x^{-x - 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)