Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x\right)}{x^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\log\left(x\right)}{x^{x}}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = x^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\log\left(x\right)}{x^{x}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}x^{x} - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}}{\left(x^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}x^{x} - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,x^{x} - \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Allgemeine Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}\,}}}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Nach Allgemeine Potenzregel
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x} \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)\,}}}}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)x^{x} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\frac{1}{x}\,x^{x} - \log\left(x\right)x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)}{\left(x^{x}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\left(-\log\left(x\right) - 1\right)\,\log\left(x\right)}{x^{x}} + x^{-x - 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)