Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\ln\left(x\right)\tan\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\tan\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = \tan\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\tan\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right)\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Tangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Tangens
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec^{2}(x)\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\sec^{2}(x)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\tan\left(x\right)}{x} + \log\left(x\right)\sec^{2}(x)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)