Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\ln\left(x\right)\,\tan\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\,\tan\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = \tan\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\,\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Tangens
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x\right) + \log\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec\left(x\right)^{2}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec\left(x\right)^{2}\,\log\left(x\right)\,}$$
Endergebnis
$$\frac{\tan\left(x\right)}{x} + \log\left(x\right) \cdot \sec\left(x\right)^{2}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\tan\left(x\right)}{x} + \log\left(x\right) \cdot \sec\left(x\right)^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)