Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{\ln\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{\ln\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x^{2} + 1\right)$
  • $v = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{\ln\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = x^{2} + 1$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{x^{2} + 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{x^{2} + 1}\,}}}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\frac{2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\frac{2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x + 0\,}}}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x}{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right)\,}}} - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1}\,}}} - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1} - \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1} - \ln\left(x^{2} + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{x}\,}}}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{x}\,}}}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{2\,x\,\ln\left(x\right)}{x^{2} + 1} - \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{x}}{\ln\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2} + 1>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $\ln\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{2\,x}{\left(x^{2} + 1\right)\,\log\left(x\right)} - \frac{\log\left(x^{2} + 1\right)}{x\,\log\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt