Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\ln\left(x^{2} + 1\right)\,\sqrt{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\,\sqrt{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x^{2} + 1\right)$
  • $v = \sqrt{x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\,\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel für den natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\ln({u})\big) = \frac{u'}{{u}}$$
Mit:
  • $u = x^{2} + 1$

Warum dieser Schritt? Die äußere Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des Arguments im Zähler hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{x^{2} + 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]}\,}}}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Kettenregel für den natürlichen Logarithmus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{x^{2} + 1}\,}}}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 7 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 8 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x + 0\,}}}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 9 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; \frac{2\,x\,\sqrt{x}}{x^{2} + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x}{x^{2} + 1}\,\sqrt{x}\,}}} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\sqrt{x}}{x^{2} + 1}\,}}} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 10 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $2\,x\,\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{1 + \frac{1}{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\sqrt{x}\,}}}}{x^{2} + 1} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{1 + \frac{1}{2}}\,}}}}{x^{2} + 1} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 11 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $1 + \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{3}{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1 + \frac{1}{2}\,}}}}}{x^{2} + 1} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3}{2}\,}}}}}{x^{2} + 1} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}$$
Schritt 12 — Ableitung der Quadratwurzel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\,\sqrt{x}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1} + \ln\left(x^{2} + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Quadratwurzel
$$\frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1} + \ln\left(x^{2} + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
Schritt 13 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\ln\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{2\,\sqrt{x}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{2\,\sqrt{x}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1} + \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{2\,\sqrt{x}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2} + 1>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $x>0$ – Die angegebene Wurzelableitung gilt hier im positiven Bereich; andere reelle Zweige und Randstellen brauchen eine gesonderte Prüfung.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\log\left(x^{2} + 1\right)}{2\,\sqrt{x}} + \frac{2\,x^{\frac{3}{2}}}{x^{2} + 1}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt