Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\log_{10}{\left(x\right)}}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log_{10}{\left(x\right)}}{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \log_{10}{\left(x\right)}$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\log_{10}{\left(x\right)}}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\log_{10}{\left(x\right)}\right]}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel für den Logarithmus zur Basis b Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\big(\log_{ {b} }({u})\big) = \frac{u'}{{u}\,\ln({b})}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $b = 10$

Warum dieser Schritt? Wir wenden die Logarithmusregel für die angegebene feste Basis an. Im Zähler steht die noch offene innere Ableitung, im Nenner das Argument mal natürlicher Logarithmus der Basis.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\log_{10}{\left(x\right)}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x\,\ln\left(10\right)}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log_{10}{\left(x\right)}\right]}\,}}}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel für den Logarithmus zur Basis b
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x\,\ln\left(10\right)}\,}}}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x\,\ln\left(10\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(10\right)\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\ln\left(10\right)\,}}}}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(10\right)\,x\,}}}}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\ln\left(10\right)\,x}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\ln\left(10\right)\,x}\,x - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\ln\left(10\right)\,x}\,x \;\Longrightarrow\; \frac{x}{\ln\left(10\right)\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\ln\left(10\right)\,x}\,x\,}}} - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{\ln\left(10\right)\,x}\,}}} - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 6 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x}{\ln\left(10\right)\,x} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\ln\left(10\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{\ln\left(10\right)\,x}\,}}} - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\ln\left(10\right)}\,}}} - \log_{10}{\left(x\right)}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{\ln\left(10\right)} - \log_{10}{\left(x\right)}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{1}{\ln\left(10\right)} - \log_{10}{\left(x\right)} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
Schritt 8 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\log_{10}{\left(x\right)} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \log_{10}{\left(x\right)}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{\ln\left(10\right)} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\log_{10}{\left(x\right)} \cdot 1\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\frac{1}{\ln\left(10\right)} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\log_{10}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{1}{\ln\left(10\right)} - \log_{10}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{\log\left(10\right)\,x^{2}} - \frac{\log\left(x\right)}{\log\left(10\right)\,x^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt