Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sqrt[3]{x}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\,\ln\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sqrt[3]{x}$
  • $v = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Wurzel als Potenz schreiben Umformung
📖 Regel
$$\sqrt[n]{u}=u^{1/n}$$

Warum dieser Schritt? Wir schreiben die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten 1/n. Hängt n von x ab, wird auch dieser Exponent mit abgeleitet. Die hier verwendete reelle Potenzdarstellung gilt im positiven Bereich.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt[3]{x}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Wurzel als Potenz schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = \frac{1}{3}$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3} - 1 \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3} - 1\,}}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{3}\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,}}}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\ln\left(x\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 6 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\sqrt[3]{x}}{x}\,}}}$$
Schritt 7 — Negative Exponenten als Bruch schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

Warum dieser Schritt? Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten. So steht das Ergebnis ohne negative Exponenten da.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{\ln\left(x\right)}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$$
✨ Nach Negative Exponenten als Bruch schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\ln\left(x\right)}{3\,x^{\frac{2}{3}}}\,}}} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$$
Endergebnis
$$\frac{\ln\left(x\right)}{3\,x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\log\left(x\right)}{3\,x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt