Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt[3]{x}\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sqrt[3]{x}$
- $v = \log\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}\log\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = \frac{1}{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}\,}}}\log\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}\log\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{-2}{3}}\log\left(x\right)\,}}} + \sqrt[3]{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{3}\,x^{\frac{-2}{3}}\log\left(x\right) + \sqrt[3]{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{1}{3}\,x^{\frac{-2}{3}}\log\left(x\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{1}{3}\,x^{\frac{-2}{3}}\log\left(x\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\log\left(x\right)}{3x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)