Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt[3]{x}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\,\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{\frac{1}{3}}$
- $v = \log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,\log\left(x\right) + x^{\frac{1}{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = \frac{1}{3}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{\frac{1}{3}}\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + x^{\frac{1}{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{3}\,x^{\frac{1}{3} - 1}\,}}}\,\log\left(x\right) + x^{\frac{1}{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{3}\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{2}{3}\,}}\,\log\left(x\right) + x^{\frac{1}{3}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\log\left(x\right) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}\,\log\left(x\right) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\log\left(x\right) + 3}{3\,x^{\frac{2}{3}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\log\left(x\right)}{3\,x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)